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Mr.Right

不顾一切的去想,于是我们有了梦想。脚踏实地的去做,于是梦想成了现实。

 
 
 

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时间复杂度的计算  

2012-04-30 23:28:51|  分类: 学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度,一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费,它是该算法所求解问题规模n的函数,而后者是指当问题规模趋向无穷大时,该算法时间复杂度的数量级。 
当我们评价一个算法的时间性能时,主要标准就是算法的渐近时间复杂度,因此,在算法分析时,往往对两者不予区分,经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度,其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。
此外,算法中语句的频度不仅与问题规模有关,还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。
常见的时间复杂度,按数量级递增排列依次为:常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。
下面我们通过例子加以说明,让大家碰到问题时知道如何去解决。
1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn 
请判断下列关系是否成立:
(1) f(n)=O(g(n)) 
(2) g(n)=O(f(n)) 
(3) h(n)=O(n^1.5)
(4) h(n)=O(nlgn)
这 里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n)),这里的"O"是数学符号,它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的 两个函数,则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时,两者的比值是一个不等于0的常 数。这么一来,就好计算了吧。

◆ (1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时,两个函数的比值是一个常数,所以这个关系式是成立的。 
       ◆ (2)成立。与上同理。
       ◆ (3)成立。与上同理。
       ◆ (4)不成立。由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快,所以h(n)与nlgn的比值不是常数,故不成立。

2、设n为正整数,利用大"O"记号,将下列程序段的执行时间表示为n的函数。
(1) i=1; k=0 
while(i<n)
{ k=k+10*i;i++;

解答:T(n)=n-1, T(n)=O(n), 这个函数是按线性阶递增的。
(2) x=n; // n>1 
while (x>=(y+1)*(y+1))
y++;
解答:T(n)=n1/2 ,T(n)=O(n1/2), 最坏的情况是y=0,那么循环的次数是n1/2次,这是一个按平方根阶递增的函数。
(3) x=91; y=100; 
while(y>0)
if(x>100)
{x=x-10;y--;}
else x++;
解答: T(n)=O(1), 这个程序看起来有点吓人,总共循环运行了1000次,但是我们看到n没有? 没。这段程序的运行是和n无关的,就算它再循环一万年,我们也不管他,只是一个常数阶的函数。


一个经验规则

有如下复杂度关系

c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

其中c是一个常量,如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高 ,如果是 2^n , 3^n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了,居于中间的几个则差强人意。

 

 

时间复杂度的计算范例

时间复杂度:算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n),T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同。
      语句的频度:是该语句重复执行的次数。
例1:交换i和j的内容。
temp=i; i=j; j=temp;
以上三条语句的频度均为1,该程序的执行时间是与问题规模n无关的常数,因此算法的时间复杂度为常数阶,记作T(n)=O(1)。
例2:变量计数。
(1)x=0;y=0;
(2)for(k=1;k<=n;k++)
(3)  x++;
(4)for(i=1;i<=n;i++)
(5)  for(j=1;j<=n;j++)
(6)     y++;
  以上语句中频度最大的语句是(6),其频度为f(n)= n2,所以该程序段的时间复杂度为T(n)=O(n2)
例3:求两个n阶方阵的乘积C=A×B,其算法如下:
#define n 100
void MatrixMultiply(int A[n][n],int B[n][n],int C[n][n]){ int i,j,k
 for (i=1;i<=n;++i)         /* 次数 n+1 */
for (j=1;j<=n;++j)          /* 次数 n*(n+1)*/
{ C[i][j]=0;                /* 次数  n2  */
        for (k=1;k<=n,k++)  /* 次数 n2(n+1) */
           C[i][j]=C[i][j]+A[i][k]*B[k][j];/* 次数 n3 */
}
}
T(n)=2n3+3n2+2n+1
lim(T(n)/ n3)=2 
T(n)=O(n3)
例4: 
(1){++x;s=0;}
(2)for (i=1;i<=n;++i) {++x;s+=x;}
(3)for (j=1;j<=n;++j)
(4)    for (k=1;k<=n;k++){++x;s+=x;}
(5) i=1; while(i<=n) i=i*2;执行次数f(n)与n的关系是n=2^f(n)
含基本操作“x增1”的语句的频度分别为1,n,n2和log2n

常见的时间复杂度,按数量级递增排列依次为:常数阶O(1),对数阶0(Log2n),线性阶O(n),线性对数阶0(nLog2n),平方阶O(n2),立方阶0(n3),指数阶O(2n)。通常认为,具有指数阶量级的算法是实际不可计算的,而量级低于平方阶的算法是高效的。

 

算法的时间复杂度


定义:如果一个问题的规模是n,解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n),它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。
当输入量n逐渐加大时,时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。
我们常用大O表示法表示时间复杂性,注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界,由定义如果f(n)=O(n),那显然成立f(n)=O(n^2),它给你一个上界,但并不是上确界,但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。
此外,一个问题本身也有它的复杂性,如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界,那就称这样的算法是最佳算法。
“大O记法”:在这种描述中使用的基本参数是 n,即问题实例的规模,把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order),比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时,运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。
这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的,但在实践中细节也可能造成差异。例如,一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然,随着n足够大以后,具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。
O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;                    
以上三条单个语句的频度均为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶,记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。
O(n^2)
2.1. 交换i和j的内容
     sum=0;                 (一次)
     for(i=1;i<=n;i++)       (n次 )
        for(j=1;j<=n;j++) (n^2次 )
         sum++;       (n^2次 )
解:T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)
2.2.   
    for (i=1;i<n;i++)
    {
        y=y+1;         ①   
        for (j=0;j<=(2*n);j++)    
           x++;        ②      
    }         
解: 语句1的频度是n-1
          语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
          f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
          该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).         
O(n)      
                                                      
2.3.
    a=0;
    b=1;                      ①
    for (i=1;i<=n;i++) ②
    {  
       s=a+b;    ③
       b=a;     ④  
       a=s;     ⑤
    }
解: 语句1的频度:2,        
           语句2的频度: n,        
          语句3的频度: n-1,        
          语句4的频度:n-1,    
          语句5的频度:n-1,                                  
          T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
                                                                                                 
O(log2n )
2.4.
     i=1;       ①
    while (i<=n)
       i=i*2; ②
解: 语句1的频度是1,  
          设语句2的频度是f(n),   则:2^f(n)<=n;f(n)<=log2n    
          取最大值f(n)= log2n,
          T(n)=O(log2n )
O(n^3)
2.5.
    for(i=0;i<n;i++)
    {  
       for(j=0;j<i;j++)  
       {
          for(k=0;k<j;k++)
             x=x+2;  
       }
    }
解:当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).
                                  
我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2),但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值,我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中,精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。
下面是一些常用的记法:
访问数组中的元素是常数时间操作,或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素,如二分检索,通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n^3),因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起,所有元素的个数是n^2。
指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如,n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的 。指数算法一般说来是太复杂了,除非n的值非常小,因为,在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是,确实有许多问题 (如著名 的“巡回售货员问题” ),到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况, 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。

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